|x+y| \le |x|+|y| < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Der Vektorraum [mm] (\IR)^{n} [/mm] besteht aus den n-Tupeln [mm] x=(x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) [/mm] reeller Zahlen, die auch Punkte genannt werden. Wir betrachten [mm] |x|:=\wurzel{(x_{1}^2+ ... + x_{n}^2)} [/mm] die Norm von [mm] x=(x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}). [/mm]
Zeigen Sie die Dreiecksungleichung |x+y| [mm] \le [/mm] |x|+|y|. |
Ok, also ich hab dazu die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung benutzt und |x+y|, |x| und |y| ersetzt:
[mm] (\summe_{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})^{2})^{0,5} \le (\summe_{i=1}^{n}(x_{i})^{2})^{0,5}+(\summe_{i=1}^{n}(y_{i})^{2})^{0,5}
[/mm]
Dann habe ich das ganze quadriert, um die Wurzeln wegzubekommen:
[mm] (\summe_{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})^{2}) \le (\summe_{i=1}^{n}(x_{i})^{2})+(\summe_{i=1}^{n}(y_{i})^{2})+(2*( \summe_{i=1}^{n}(x_{i})^{2})^{0,5}*(\summe_{i=1}^{n}(y_{i})^{2})^{0,5})
[/mm]
Daraufhin habe ich links die binomische Formel angewendet und rechts etwas zusammengefasst:
[mm] (\summe_{i=1}^{n}((x_{i})^{2}+(y_{i})^{2}+2*x_{i}*y_{i}) \le (\summe_{i=1}^{n}((x_{i})^{2}+(y_{i})^{2})+(2*( \summe_{i=1}^{n}(x_{i})^{2})^{0,5}*(\summe_{i=1}^{n}(y_{i})^{2})^{0,5})
[/mm]
Denn linken Teil habe ich dann noch etwas auseinander genommen:
[mm] (\summe_{i=1}^{n}((x_{i})^{2}+(y_{i})^{2})+(\summe_{i=1}^{n}(2*x_{i}*y_{i}) \le (\summe_{i=1}^{n}((x_{i})^{2}+(y_{i})^{2})+(2*( \summe_{i=1}^{n}(x_{i})^{2})^{0,5}*(\summe_{i=1}^{n}(y_{i})^{2})^{0,5})
[/mm]
Dann habe ich einen Teil des linken Teils durch Subtraktion auf die rechte Seite geholt, sodass dieser rausfällt:
[mm] (\summe_{i=1}^{n}(2*x_{i}*y_{i}) \le [/mm] 2*( [mm] \summe_{i=1}^{n}(x_{i})^{2})^{0,5}*(\summe_{i=1}^{n}(y_{i})^{2})^{0,5}
[/mm]
Soweit so gut, nur wie beweise ich jetzt, dass die linke Seite wirklich kleiner ist, als die rechte?
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:09 Do 26.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier:
https://matheraum.de/read?t=621843
FRED
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